Lingkaran

Lingkaran
adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar

Elemen Lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :

·         Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :

1.     Titik pusat (P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

·         Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :

1.     Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.

2.     Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.

3.     Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.

4.     Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.

5.     Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.

6.     Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

·         Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :

1.     Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.

2.     Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.

3.     Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Persamaan

1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jarinya (r)

(x – a)² + (y – b)² = r²

2) Bentuk umum persamaan lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0

Pusat (– ½ A, –½B) dan jari-jari: r = jari jari

3) Jarak titik P(x₁,y₁) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

  Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1)    Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x₁, y₁) pada lingkaran

a)    Garis singgung lingkaran: x² + y² = r²

x x₁ + y y₁ = r²

b)    Garis singgung lingkaran : (x – a)² + (y – b)² = r²

(x – a) (x₁ – a) + (y – b) (y₁ – b) = r²

c)    Garis singgung lingkaran : x² + y² + Ax + By + C = 0

xx₁ + yy₁ + ½A(x + x₁) + ½B(y + y₁) + C = 0

2)    Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran, langkah-langkahnya:

1.    Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a)

2.    Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran.

3.    Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

3)    Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui

q Garis singgung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² dengan gradien m

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

x = x_0 + R \cos(t) \!

y = y_0 + R \sin(t) \!

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran memiliki rumus

A = \pi R^2 \!

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dA = rd\theta\ dr

dalam koordinat polar, yaitu

\int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} rd\theta\ dr = \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam

R_1\!

dan jari-jari luar

R_2\!

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam

R_1\!

dan jari-jari luar

R_2\!

, yaitu

A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!

di mana untuk

R_1 = 0\!

rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

K = 2\pi R\!

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

L = R \theta \!

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!

di mana digunakan

y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda

\pm

mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.