Garis Bilangan Real

Interpretasi geometris yang dikenal diantaranya garis bilangan real. Dalam interpretasi ini, nilai mutlak | a | dari suatu elemen a anggota bilangan Real adalah jarak dari a ke 0. Secara umum, jarak antara a dan b dalam himpunan bilangan Real adalah | a - b |. (Lihat Gambar 2.2.1)

Definisi 2.2.7      Diberikan a є R dan ɛ > 0. Kemudian ɛ merupakan persekitaran dari himpunan Vɛ(a) = {xє R: | x – a |<ɛ}.

Untuk a є R, pernyataan bahwa a milik Vɛ(a) setara dengan pernyatan (lihat gambar 2.2.2)

Teorema2.2.8      Diberikana є R, KeterdekatanVɛ(a) untuk setiap ɛ > 0 dan x = a.

Bukti.    X memenuhi | x – a | < ɛ untuk setiap ɛ > 0, maka berdasarkan teorema 2.1.9 diperoleh bahwa | x – a | = 0, dan karenanya x = 0.

Contoh 2.2.9 

(a)       Diberikan U = {x : 0 < x < 1}. Jika a є U, diberikan ɛ lebih kecil dari dua angka, a dan 1 – a. Maka, akan ditunjukkan V ɛ (a) merupakan anggota dari U. Sehingga anggota dari sekitaran ɛ juga anggota dari U.

(b)       Jika I = {x: 0 <x< 1}, maka untuk setiap ɛ > 0, V  ɛ 0) dari 0 bukan merupakan anggota dari I, sehinggaVɛ(0) bukan merupakan anggota di I. Sebagai contoh, xɛ= -ɛ/2 dalamVɛ(0)tapi bukan anggota I.

( c )      Jika | x – a | < ɛ dan | y – b| < ɛ, maka berdasarkan definisi ketaksamaan segitiga

                |(x + y) – (a + b) | = | (x – a) + (y – b)|

                                                     =| x – a | + | y – b| < 2 ɛ

Sehingga jika x, y berada disekitaran ɛdari a, b, masing-masing, kemudianx + y berada di sekitar 2 ɛ dari a + b (tapi tidak juga harus disekitaran ɛ dari a, b)