Penafsiran fungsi gelombang Heisenberg

Jika gelombang materi diungkapkan sebagai fungsi gelombang ψ (r, t), yang dapat berupa fungsi kompleks variabel real r dan t, maka

ψ (r, t) adalah suatu fungsi kuadrat modulusnya, |ψ(r, t)|², sebanding dengan rapat peluang (per satuan volume) untuk mendapatkan partikel di titik r pada saat t.

Penafsiran probabilistik terhadap fungsi gelombang seperti itu pertama kalidiajukan oleh Max Born pada tahun 1926.Oleh sebab itu, ungkapan tersebut dikenal sebagai penafsiran Born tentang fungsi gelombang. Selanjutnya |ψ(r, t)|²didefinisikan sebagai rapat peluang, kehadiran partikel di titik r pada saat t dan besarnya dilambangi

artinya;

menyatakan besarnya peluang pada saat t partikel berada di dalam unsur volume d³ ≡ dxdydz

disekitar titik r.

Jika partikel yang dibicarakan benar-benar ada, maka pelacakan partikel ke seluruh ruang pasti dapat menemukannya.Ini berarti bahwa peluang total mendapatkan partikel haruslah 1. Jadi

Persamaan di atas membawa konsekuensi bahwa integral |ψ(r, t)|² ke seluruh ruang harus berhingga. Dengan kata lain, ψ (r, t) harus merupakan fungsi yang kuadrat modulusnya dapat diintegralkan dalam arti:

Fungsi-fungsi seperti itu dikatakan bersifat square integrable (SI). Jika N = 1, dikatakan fungsi gelombang tersebut ternormalkan (ternormalisasi). Cara sederhana untuk mengenali apakah suatu fungsi termasuk SI atautidak adalah dengan mengamati sebaran nilainya.Jika fungsi tersebut menyebarnke seluruh ruang, artinya nilainya tidak nol dari ー∞ sampai + ∞ maka fungsi tersebut tidak termasuk SI. Sebaliknya, jika tidak terlalu menyebar, artinya bernilai nol di 土∞, maka fungsi tersebut termasuk SI. Uraian tadi menambah satu lagi sifat yang harus dipenuhi oleh gelombang materi,yaitu harus bersifat SI.Untuk memahami penafsiran probabilistik tersebut, untuk sementara kita batasi pembicaraan kita dalam kasus 1 dimensi. Jika ψ (x, t) menyatakan gelombang materi yang dibicarakan, dan ψ (x, t) ternormalkan, maka